Это спорный вопрос, в разных словарях он решается различно.
Предложение построено неудачно, так как может быть воспринято буквально. Можно вставить в предложение имя: Пока Иван Иванович, правая рука начальника, встречал гостей...
Следует склонять: ...реки Вятки.
Если в тексте нет противопоставления, предпочтительно слитное написание неведущая рука.
Правильно: гелевая ручка. Гелевый – прилагательное от гель, гелиевый – от гелий (гелиевое ядро).